Problemas de proporcionalidad: proporcionalidad directa e inversa
23 marzo 2015
En el post de hoy vamos a trabajar la proporcionalidad viendo algunos ejemplos de problemas de proporcionalidad.
Si quieres, antes de empezar, puedes ver otros ejercicios de números proporcionales en los que revisamos los conceptos de razón y constante de proporcionalidad.
Índice
Proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa
Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales o inversamente proporcionales.
Proporcionalidad directa
¿Cuándo son directamente proporcionales? Cuando al aumentar una de las magnitudes aumenta proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra también se multiplica o divide por ese mismo número.
Proporcionalidad inversa
Sin embargo, son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de las magnitudes disminuye proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por ese mismo número, o viceversa: si al dividir una de ellas entre un número la otra queda multiplicada por este número.
No proporcionalidad
En el epígrafe anterior se dice lo que es proporcionalidad directa o inversa, es muy importante notar que hay situaciones que parecen proporcionales, pero no lo son, porque solo cumplen alguna de las condiciones. Para que quede claro, vamos a ver algunos ejemplos explicando porqué no son proporcionales.
Ejemplo 1 de no proporcionalidad
El mejor tiempo de Juan corriendo 100 metros es 17 segundos, ¿cuánto tardará en recorrer 1 kilómetro?
Parece que el problema se podría resolver multiplicando 17 por 10, ¿no? ya que un kilómetro son 10 veces 100 metros. En realidad no es proporcional, porque ese es el mejor tiempo en los 100 metros, es poco creíble que pueda mantener la velocidad durante un kilómetro, por no decir imposible. Por tanto la respuesta a este problema es «no se puede saber con estos datos».
Ejemplo 2 de no proporcionalidad
La locomotora de un tren mide 12 metros, con cuatro vagones conectados el tren tiene 52 metros de largo, ¿cuánto medirá el tren con 8 vagones idénticos?
Parece un problema de proporcionalidad directa, a más vagones, más longitud, y con el doble de vagones debería medir el doble, ¿verdad? Pues no, la misma locomotora -la única de la que habla el enunciado- puede tirar con más trabajo de los 4 vagones extra que se han incorporado al convoy. Por lo que el nuevo convoy medirá 92 metros, ya que si la locomotora mide 12 metros y con cuatro vagones el tren mide 52 metros es porque cada vagón mide 10 metros de largo.
Ejemplo 3 de no proporcionalidad
Hoy he tardado 4 h en abonar un terreno cuadrado, ¿cuánto habría tardado en abonar un terreno cuadrado con el doble de lado al que he abonado hoy?
Otro problema que parece de proporcionalidad directa, ¿verdad? A mayor superficie, mayor tiempo. Cuidado, si el lado es el doble, la razón de proporcionalidad no será dos, sino cuatro, porque la superficie de una cuadrado con el doble de lado es ¡cuatro veces mayor! Si tienes dudas de esto, lo mejor es que hagas un dibujo de dos cuadrados, uno con el doble de lado que el otro. La respuesta a este problema es que tardaré 16h, siempre que vaya a la misma velocidad que he ido hoy.
Problemas de proporcionalidad
Ahora vamos a ver algunos problemas, confirmando primero que son de proporcionalidad, para ver después si son de proporcionalidad directa o inversa, luego, los resolveremos.
Primer problema de proporcionalidad
Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?
Para resolver este problema, debemos pensar en primer lugar si es de proporcionalidad. Los mapas, si están bien hechos cumplen siempre la relación de que a mayor distancia en el mapa, mayor distancia en la realidad. Si en lugar de 5 centímetros hablásemos del doble de centímetros en el mapa (10 centímetros), ¿en la realidad serían más metros o menos metros?
Serían más metros: justo el doble de metros en la realidad.
Si al duplicar una magnitud (centímetros) también se duplica la otra (metros) estamos hablando de que hay proporcionalidad, y además es directa.
Por lo tanto, vamos a resolver el problema:
Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará…
600 : 5 = 120 metros
Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán…
120 x 8 = 960 metros
Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel.
Segundo problema de proporcionalidad
Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?
Nos preguntamos si es proporcional, y de qué tipo. Para ello, pensamos…
Si en lugar de 3 camiones hablásemos del doble de camiones (6 camiones), ¿tendrían que hacer más o menos viajes?
Cuantos más camiones carguen mercancía, en menos viajes se cargará toda: necesitarían justo la mitad de viajes.
Si al duplicar una magnitud (camiones) se divide entre dos la otra (viajes necesarios) estamos hablando de que hay proporcionalidad y es inversa.
Por lo tanto, vamos a resolver el problema:
Como 3 camiones necesitan hacer 6 viajes, 1 solo camión necesitaría hacer…
3 x 6 = 18 viajes
Como 1 solo camión necesitaría hacer 18 viajes, los 2 camiones tuvieron que hacer…
18 : 2 = 9 viajes
Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes.
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Los ejemplos de «no proporcionalidad» los hemos sacado de un artículo de Dooren, Bock y Verschaffel, investigadores holandeses de Didáctica de las Matemáticas, una lectura muy recomendable si estás interesado en educación matemática.
169 Comentarios
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Tanto la explicación como el desarrollo del problema de lo mejor
Muchas gracias por el aporte, buen contenido y didáctica adecuada.
Soy aprendiz de electrónica, el post de hoy me resultó entendible y útil, gracias
Gracias, me sirvió mucho. Explicas muy bien.
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INTERESANTE, GRACIAS.
Muy buenos los ejemplos.
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muy bueno para todos nosotros los maestros
Mucha gracias
Gracias por permitirnos ingresar a este importante contenido. Me parece que es bastantemente claro y didáctico para la comprensión.
Guay
Gracias por explicar de manera entendible la solución de problemas
Muy bien la forma de explicar las matemáticas ayudó mucho ya que el profesor solo pide que investiguen sin haber explicado antes a sus alumnos del 1 grado de secundaria
Muchas gracias, hay muy pocos problemas como estos ¡Excelente!
Perfecto digamos que saque un 5 más o menos que buena explicación
gracias muy claro y excelente explicación con ejemplo lo entendimos muy bien con mi hijo
gracias
Me ayudó mucho en la tarea de matemáticas increíble creo que probablemente me ganaré un 5 o un 4
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Excelente explicación y ejercicios .
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Crack el que hizo esto, mañana tengo prueba y sale 10
Gracias, me salvaron de la tarea :v
5problemas de proporcion resueltos. Gracias
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Muchas gracias!!
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¡Un saludo!
gracias, entendí mucho
¡Perfecto! Logré comprenderlo muy bien e incluso mejor de lo que pensé. Muy buena página y contenido, gracias. Saludos.
¡Muchas gracias, Diana! Nos alegramos de haberte ayudado.
¡Un saludo!
Gracias por estos problemas, me ayudaron mucho.
Gracias esto me ayudó demasiado para comprender más este tipo de problemas
Muchas gracias esto me servirá mucho
Gracias me sirvió de mucho
Ya pude comprender muy bien. Gracias
Me sirvió de maravilla gracias
Muchas gracias, ¡por fin lo entendí!
Por fin logre comprender, gracias 😉
Mil gracias, por fin entendí
tengo examen de esto hoy y estoy estudiando a las 5 de la mañana
Me sirvió de mucha ayuda
Esto me sirvió para la recuperación de mates.
Me encantó. Así pude hacer mi trabajo de Matemáticas del bloque y salir próximamente con buenas calificaciones.
Me gustaron los ejercicios me sirvió para mi examen me saqué 20.
Gracias por los ejercicios, le fueron de mucha ayuda a mi hijo
¡Esto me sirvió de mucha ayuda gracias!
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Thanks!
Hola me llamo mathi y me han servido muchísimo estos ejercicios
Estoy empezando a estudiar enfermería y dejé las matemáticas hace casi 20 años.
La forma de explicar es perfecta y muy sencilla.
Gracias!!
Para la enseñanza
Excelente Inés, muchas gracias, me han servido tus post para dar unas clases, además de que están muy amenos. Saludos
el numero de minutos hablados en el celular y la cantidad de dinero que hay que pagar por el consumo es inverso o directa
Hola Pamela:
Si cuanto más hablas, más pagas, sería una proporcionalidad directa.
Si cuanto más hablas, menos pagas, sería una proporcionalidad inversa.
Directa, ya que si el numero de minutos de llamada aumenta el costo también lo hará.
muy bueno me ayudó bastante con el examen de verdad muchas gracias
Excelente explicación me encantó Felicidades !!! ☺
me encanta esta explicación me sirvió de mucho y pude entender mejor
Buen contenido, gracias.
Me será de mucha utilidad si colocan el año de realización del mismo, o es que está, ¿pero no lo veo? ¿dónde lo puedo ver? Es para colocarlo en e-grafía .
Hola Darlin:
Dado que los contenidos matemáticos son iguales hoy que hace 4 años, hemos preferido no poner año en el blog, son post que siempre están vigentes independientemente de la fecha en que se escribió el contenido.
Gracias!
La información me ha servido mucho, gracias.Saludos
es buena información muy buena
Muchas gracias, todo me ha ayudado, Inés. Sirve de mucho, sobre todo porque dentro de poco tengo un global de mates, y necesito practicar. Gracias por todo.
iBueno gracias por todo lo dicho de la proporcionalidad me sirvio de mucha información para preparar mi clase o tema doy gracias a dios y a los que nos dan la información
Perfect
te adoro eres lo maximo internet
Gracias Smartick
¡Muchas gracias a ti por tu comentario, Rede!
por fin entendí después de tanto buscar gracias
muy buena tu información muchas graciasss 🙂
gracias me queda claroooooooooooo.
Gracias me sirven de mucho
Muchas gracias por tu información, me ha servido de gran ayuda.
realmente que interesante esta página muchas gracias aprendí mucho
EXCELENTE PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMAY APROPIADA SOLUCIÓN. GRACIAS POR APOYAR A QUIENES DESEAN APRENDER LAS MATEMÁTICAS APLICADAS A LA REALIDAD.
muy de acuerdo
hola muchas gracias ahora se me aclararon mis dudas que tenía
no entendia proporciones pero ahora sí
antes se me hacia dificil
muyyy buenoo me sirvió de ayuda
muy bien para el o la q hizo esto los felicito y les agradezco ya q me sirvio para un examen en una solicitud d trabajo
Muchas gracias me sirvió de mucho
es super genial me ayudó en las evaluaciones de mates es super útil para los que no saben nada de mates es genial úsenlo es buenisimo
Están bien los problemas para resolver dudas
Súper mejor que en clase
seguro mañana paso la prueba ,me parece super me encanto ojala me sigan ayudando en mate ya q se me dificulta muchas gracias sigan ayudando en mate y en otras materias mas los quiero muchas graciasssssssss
INTERESANTE. DE MUCHA AYUDA PARA QUIENES NO DOMINAMOS MUCHO LAS MATEMATICAS.
me encantó si me sirvió de mucho gracias 🙂
gracias
muy buena tarea GRACI@S
Muy buenas proporcionalidades ya termine mi tarea grasias
Rectifico 74 años
Muy bien la explicación,busque para hacer el calculo de ampliación de una lamina para ampliar y me entusiasme con la explicación y los ejemplos aclaro que tengo 74 motivo para reafirmar lo bien explicado que esta todo
Muchas gracias
Buenisimos estos problemas
dime y para sacar las diferencias como le enseño o esplico como por ejemplo yo tengo 30.456 y quiero comprar un coche uno cuesta 35.070 y otro de57050 decirme como le esplico se resta o se divide para sacar la diferencia
Muy bien
No le entendía a el problema q me habían dejado de tarea
Y con este me ayude
¡¡¡¡¡¡¡¡Gracias!!!!!!!!
ME ENCANTO ESTA PAGINA CON ESTO PUDE HACER MI TAREA
SIGAN ASI!!!
Muy bien explicados los problemas, realmente me ayudaron y comprendi este tema. Los planteamiento son muy buenos. Excelente!!
Gracias estoy en 6to grado y me ayudaron mucho en la escuela. Mas porque soy un poco manca en el cole
Es muy buena la aplicación
buenaso esos problems
Me encanta los problemas.
Gracias por fin entiendo este tema