Problemas de proporcionalidad: proporcionalidad directa e inversa

En el post de hoy vamos a trabajar la proporcionalidad viendo algunos ejemplos de problemas de proporcionalidad.

Si quieres, antes de empezar, puedes ver otros ejercicios de números proporcionales en los que revisamos los conceptos de razón y constante de proporcionalidad.

Proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa 

Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales o inversamente proporcionales.

Proporcionalidad directa

¿Cuándo son directamente proporcionales? Cuando al aumentar una de las magnitudes aumenta proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra también se multiplica o divide por ese mismo número.

Proporcionalidad inversa

Sin embargo, son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de las magnitudes disminuye proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por ese mismo número, o viceversa: si al dividir una de ellas entre un número la otra queda multiplicada por este número.

No proporcionalidad

En el epígrafe anterior se dice lo que es proporcionalidad directa o inversa, es muy importante notar que hay situaciones que parecen proporcionales, pero no lo son, porque solo cumplen alguna de las condiciones. Para que quede claro, vamos a ver algunos ejemplos explicando porqué no son proporcionales.

Ejemplo 1 de no proporcionalidad

El mejor tiempo de Juan corriendo 100 metros es 17 segundos, ¿cuánto tardará en recorrer 1 kilómetro?

Parece que el problema se podría resolver multiplicando 17 por 10, ¿no? ya que un kilómetro son 10 veces 100 metros. En realidad no es proporcional, porque ese es el mejor tiempo en los 100 metros, es poco creíble que pueda mantener la velocidad durante un kilómetro, por no decir imposible. Por tanto la respuesta a este problema es «no se puede saber con estos datos».

Ejemplo 2 de no proporcionalidad

La locomotora de un tren mide 12 metros, con cuatro vagones conectados el tren tiene 52 metros de largo, ¿cuánto medirá el tren con 8 vagones idénticos?

Parece un problema de proporcionalidad directa, a más vagones, más longitud, y con el doble de vagones debería medir el doble, ¿verdad? Pues no, la misma locomotora -la única de la que habla el enunciado- puede tirar con más trabajo de los 4 vagones extra que se han incorporado al convoy. Por lo que el nuevo convoy medirá 92 metros, ya que si la locomotora mide 12 metros y con cuatro vagones el tren mide 52 metros es porque cada vagón mide 10 metros de largo.

Ejemplo 3 de no proporcionalidad

Hoy he tardado 4 h en abonar un terreno cuadrado, ¿cuánto habría tardado en abonar un terreno cuadrado con el doble de lado al que he abonado hoy?

Otro problema que parece de proporcionalidad directa, ¿verdad? A mayor superficie, mayor tiempo. Cuidado, si el lado es el doble, la razón de proporcionalidad no será dos, sino cuatro, porque la superficie de una cuadrado con el doble de lado es ¡cuatro veces mayor! Si tienes dudas de esto, lo mejor es que hagas un dibujo de dos cuadrados, uno con el doble de lado que el otro. La respuesta a este problema es que tardaré 16h, siempre que vaya a la misma velocidad que he ido hoy.

Problemas de proporcionalidad

Ahora vamos a ver algunos problemas, confirmando primero que son de proporcionalidad, para ver después si son de proporcionalidad directa o inversa, luego, los resolveremos.

Primer problema de proporcionalidad

Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?

Para resolver este problema, debemos pensar en primer lugar si es de proporcionalidad. Los mapas, si están bien hechos cumplen siempre la relación de que a mayor distancia en el mapa, mayor distancia en la realidad. Si en lugar de 5 centímetros hablásemos del doble de centímetros en el mapa (10 centímetros), ¿en la realidad serían más metros o menos metros?

Serían más metros: justo el doble de metros en la realidad.

Si al duplicar una magnitud (centímetros) también se duplica la otra (metros) estamos hablando de que hay proporcionalidad, y además es directa.

Por lo tanto, vamos a resolver el problema:

Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará…

600 : 5 = 120 metros

Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán…

120 x 8 = 960 metros

Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel.

Segundo problema de proporcionalidad

Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Nos preguntamos si es proporcional, y de qué tipo. Para ello, pensamos…

Si en lugar de 3 camiones hablásemos del doble de camiones (6 camiones), ¿tendrían que hacer más o menos viajes?

Cuantos más camiones carguen mercancía, en menos viajes se cargará toda: necesitarían justo la mitad de viajes.

Si al duplicar una magnitud (camiones) se divide entre dos la otra (viajes necesarios) estamos hablando de que hay proporcionalidad y es inversa.

Por lo tanto, vamos a resolver el problema:

Como 3 camiones necesitan hacer 6 viajes, 1 solo camión necesitaría hacer…

3 x 6 = 18 viajes

Como 1 solo camión necesitaría hacer 18 viajes, los 2 camiones tuvieron que hacer…

18 : 2 = 9 viajes

Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes.

¿Qué te ha parecido este post? ¿Te ha ayudado a entender mejor los problemas de proporcionalidad?

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Los ejemplos de «no proporcionalidad» los hemos sacado de un artículo de Dooren, Bock y Verschaffel, investigadores holandeses de Didáctica de las Matemáticas, una lectura  muy recomendable si estás interesado en educación matemática.

Para seguir aprendiendo:

• Regla de 3 simple directa e inversa
• Regla de 3: resumen de entradas
• Proporcionalidad inversa. ¿Qué es?
• Proporcionalidad inversa, regla de tres inversa
• Regla de 3 compuesta: cuándo se utiliza y algunos problemas

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Inés Del Amo Blanco

Maestra de educación infantil con especialización en Conocimiento del medio desde las ciencias y las matemáticas.
Forma parte del equipo de desarrollo de contenidos de Smartick y se encarga de la elaboración y secuenciación de enunciados.

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